Statistika Matematika

Penulis:

Prof. Dr. Drs. I Nyoman Budiantara, M.Si

196 halaman, 21 x 29.7 cm

ISBN: xxx-xxx-xxx-xxx-x

Sinopsis:

Buku dengan Judul “STATISTIKA MATEMATIKA” ini disusun dengan sangat detail, terperinci tahap demi tahap yang disertai uraian yang sangat lengkap dan sistematis sehingga mudah dipahami oleh mahasiswa Program Sarjana Statistika. Buku ini disusun dalam 12 (duabelas) bab, dari Bab I sampai dengan BAB XII. Pada setiap bab disertai dengan uraian yang detail dan disertai dengan banyak contoh-contoh soal dan disertai dengan penyelesaiannya. Pada setiap bab juga disertai dengan Latihan Soal-soal yang dapat dipelajari oleh mahasiswa sebagai Latihan sehingga mereka dapat lebih memahami materi pada masing-masing bab.

Bab I : Pada bab ini diberikan beberapa konsep penting yang mendasari andan untuk belajar  Statistika Matematika. Beberapa konsep penting tersebut diantaranya adalah makna kata Statistika dan Statistik serta perbedaan diantara keduanya. Pada Bab I juga diberikan bagian-bagian dari Statistika secara Global yang akan dipelajari pada Program Sarjana Statistika. Disamping itu, pada Bab I juga dibahas Proses Pengambilan keputusan dalam Statistika yang merupakan bagian penting dari Statistika Matematika.

Bab II : Membahas Distribusi sampling dari populasi berdistribusi Normal. Distribusi sampling dari distribusi normal menjadi sangat penting dalam Statistika Inferensial, karena banyak populasi yang berdistribusi Normal. Disamping itu, banyak distribusi sampling penting dalam Statistika inferensial, diturunkan dari distribusi Normal. Bab II memberikakan metode MGF (Momen Generating Functions) untuk memperoleh Distribusi sampling dan distribusi fungsi dari variable random dari populasi berdistribusi Normal. Bab II juga menekankan betapa pentingnya konsep Distribusi Sampling Kombinasi Linear dari Distribusi Normal adahan juga Distribusi Normal. Disamping itu, Bab II juga membahas dengan menggunakan beberapa contoh, kemudahan-kemudahan yang diperoleh jika menggunakan metode MGF dalam memcari distribusi sampling dari suatu variable random.

Bab III : Membahas Distribusi sampling dari keluarga distribusi Gamma, khususnya distribusi Gamma dua parameter, menggunakan metode MGF. Pada bab ini diberikan distribusi sampling dari distribusi Gamma, distribusi Ekponensial, dan distribusi Chi Kuadrat. Secara khusus dibahas distribusi Kombinasi linear dari distribusi Gamma, kombinasi linear dari distribusi Ekspnensial dan Kombinasi linear dari distribusi Chi Kuadrat.  Kombinasi linear dari distribusi-distribusi ini banyak digunakan dalam Statistika inferensial.

Bab IV : Membahas distribusi sampling dari distribusi variable random Diskrit, diantaranya distribusi Bernoulli, Distribusi Binomial dan distribusi Poisson, menggunakan metode MGF. Disamping itu, juga diberikan distribusi sampling dari distribusi Student t dan distribusi Snedcor F. Distribusi sampling t dan distribusi sampling F ini sangat penting dan sangat  banyak digunakan dalam menyelesaikan persoalan Statistika inferensial. Bab IV ini juga membahas bagaimana distribusi sampling t dan distribusi sampling F ini dapat diperoleh dari populasi yang berdistribusi Normal. Bab IV juga memberikan distribusi dari Statistik berurut (order statistics) yang sangat berguna dalam statistika inferensial dimana sampel yang diambil tidak bersifat independent (dependent).

Bab V : Membahas tentang Konvergensi dari barisan variable random, diantaranya Konvergen dalam arti Probabilitas, Konvergen dalam arti distribusi, Konvergen dalam arti almost surely (a.s), Konvergen dalam arti r-mean ataupun konvergen dalam arti kuadratik mean. Konvergen dalam arti Probabilitas seringkali sangat berguna untuk menyelidiki sifat baik asimtotik yang dimiliki oleh barisan suatu estimator. Konvergen dalam arti distribusi, seringkali membantu dalam memperoleh distribusi dari barisan estimator yang mana distribusinya sulit diperoleh dengan menggunakan sampel kecil. Bab V ini juga memberikan konsep dasar tentang Law of Large Number (LLN) (hukum bilangan besar), baik yang Strong Law of Large Number (SLLN) maupun yang Weak Law of Large Number (WLLN). Pada bagian akhir bab ini diberikan suatu konsep yang sangat terkenal dan penting dalam distribusi limit, yaitu Central Limit Theorems (CLT) (Teorema Limit Pusat) yang membahas kekonvergean suatu barisan variabel random ke suatu variabel random yang berditribusi Normal.

Bab VI : Menyajikan Teori Estimasi titik yang merupakan bagian utama dalam Statistika Matematika. Bab VI juga membahas beberapa metode yang digunakan untuk mendapatkan estimasi titik dari suatu parameter populasi, diantaranya meode Momen dan Metode Maximum Likelihood Estimator (MLE). Bab ini menyajikan beberapa kelebihan metode MLE sehingga sangat sering digunakan dalam mendapatkan suatu estimator oleh para peneliti. Bab ini juga memberikan banyak contoh mendapatkan estimator dengan menggunakan Metode MLE, dimana untuk memaksimumkan fungsi likelihoodnya diperoleh dengan meggunakan konsep derivative, maupun memaksimumkan fungsi likelihoodnya tidak menggunakan konsep derivative.

Bab VII : Membahas Kriteria kebaikan dari suatu estimaor. Diberikan beberapa kriteria kebaikan dari estimator, diantaranya kriteria tidak bias (Unbiased), Kriteria Variansi Terkecil (Efisien), Kriteria Konsisten (Tidak bias secara Asimtotik), dan Statistik Cukup. Bab ini juga membahas bahwa estimator yang tidak bias untuk suatu parameter tidaklah tunggal, sehinggga berakibat perlu dibahas kriteria lain dari estimator, selain kriteria tidak bias. Kriteria efisien juga dibahas pada Bab VII ini, yang merupakan kriteria didasarkan pada estimator dengan variansi yang terkecil diantara kelas estimator tidak bias. Untuk sampel berukuran besar, Bab VII juga memberikan kriteria Konsisten yang seringkali menggunakan ketaksamaan Chebycev untuk memperolehnya. Pada bagian akhir Bab VII membahas suatu kriteria kebaikan dari suatu estimator yaitu Statistik cukup (Sufficient Statistics).

Bab VIII : Membahas tentang Estimasi interval (interval konfidensi) yang merupakan konsep penting dalam Statistika inferensial. Bab ini khusus membahas interval konfidensi dari satu populasi baik dari populasi berdistribusi Normal maupun dari populasi berdistribusi Binomial. Secara khusus bab ini menyajikan bagaimana memperoleh interval konfidensi terpendek untuk parameter populasi satu populasi. Bagian ini menurunkan interval konfidensi terpendek untuk mean populasi berdistribusi Normal, baik untuk variansi populasi yang diketahui maupun untuk variansi populasi yang tidak diketahui. Disamping itu juga dibahas interval konfidensi terpendek untuk variansi dari populasi berdistribusi Normal. Bab VIII juga memberikan interval konfidensi terpendek untuk parameter proporsi (prosentase) suatu populasi berdistribusi Binomial.

Bab IX : Membahas Interval Konfidensi untuk dua populasi, baik dari dua populasi berdistribusi Normal maupun dari dua populasi berdistribusi Binomial. Bab ini membahas secara detail bagaimana menurunkan interval konfidensi terpendek untuk selisih dua mean populasi berdistribusi Normal. Interval konfidensi terpendek untuk selisih dua mean dengan asumsi variansi kedua populasi diketahui dibahas dalam bab ini menggunakan optimasi Lagrange. Bab IX juga membahas interval konfidensi terpendek untuk selisih dua mean dimana variansi kedua populasi tidak diketahui, tetapi dianggap sama. Pembahasan lain dalam bab ini adalah interval konfidensi terpendek untuk selisih dua proporsi populasi berdistribusi Binomial. Pada bagian akhir dari Bab IX membahas interval konfidensi terpendek perbandingan dua variansi populasi berdistribusi Normal.

Bab X : Membahas konsep dasar tentang uji hipotesis. Uji hipotesis merupakan materi yang sangat penting dan terkenal, serta sangat banyak digunakan dalam Statistka inferensial dan implementasinya. Bab ini diawali dengan pengenalan terhadap konsep probabilitas kesalahan tipe-I dan probabilitas kesalahan tipe-II. Bab X juga menjelaskan dengan baik bahwa pengambilan keputusan tidak mungkin dapat dilakukan dengan membuat probabilitas kesalahan tipe-I dan probabilitas kesalahan tipe-II, kecil secara bersama-sama (simultan). Oleh karena itu dalam uji hipotesis, kesalahan tipe-I dikontrol (ditetapkan) nilainya oleh peneliti, sedangkan probabilitas kesahan tipe-II dibuat sekecil mungkin (minimum). Bab X juga membahas bagaimana membentuk fungsi power (kekuatan uji) dari suatu hipotesis. Berdasarkan konsep ini, akan dirancang suatu hipotesis yang mempunyai kekuatan uji (powe test) yang paling besar.

Bab XI : Membahas suatu uji dengan menggunakan optimasi, yaitu uji Most Powerfull Test (MP) test. Uji MP test merupakan suatu uji simpel (sederhana) dimana uji tersebut mempunyai ukuran  yang sama, tetapi mempunyai power (kekuatan uji) yang terbesar diantara uji uji yang lainnnya. Penurunan uji MP test dibahas dalam bab ini menggunakan konsep Lemma Neyman-Pearson. Bab XI juga membahas uji Uniformly Most Powerfull Test (UMP) Test untuk menguji hipotesis yang yang Komposit (majemuk). Penurunan uji UMP diberikan dalam bab ini dengan cara menggunakan Lemma Neyman-Pearson dan mengeneralisasikan uji MP test secara uniformly. Pada bagian akhir dari Bab XI dibahas dan ditunjukan bahwa Uji UMP sangat baik untuk uji komposit satu sisi, baik sisi kiri, maupun sisi kanan, tetapi sayangnya uji optimal ini, tidak ada untuk uji hipotesis dua sisi.

Bab XII :  Membahas suatu uji yang banyak digunakan pada Statistika inferensial. yaitu uji Likelihood Ratio Test (LR) Test. Uji ini tidak menggunakan konsep optimal seperti halnya dengan  MP test dan UMP test. Bab ini juga membahas bagaimana menggunakan konsep LR test dan bagaimana menurunkan suatu Statistik uji dan Distribusi dari Statistik uji pada uji LR Test. Bab XII juga membahas beberapa penerapan uji LR test, misalnya untuk menguji mean dan variansi dari populasi berdistribusi Normal satu populasi. Bab ini juga memberikan uji LR untuk menguji kesamaan dua mean dan perbandingan dua variansi populasi berdistribusi Normal. Pada bagian akhir Bab XII membahas Uji LR untuk menguji kesamaan dua proporsi populasi berdistribusi Binomial.